Løs 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+9x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 9 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Adder 81 til 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} når ± er plus. Adder -9 til 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Divider -9+3\sqrt{13} med 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{13} fra -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Divider -9-3\sqrt{13} med 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+9x=1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Divider 9 med 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{9} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$