Løs 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9x^{2}+ax+bx+49. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Løsningen er det par, der får summen 42.

$$a=21 b=21$$

Omskriv 9x^{2}+42x+49 som \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Ud3x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 42 med b og 49 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Kvadrér 42.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Adder 1764 til -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-42}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Subtraher 49 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Hvis 49 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{42}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Divider \frac{14}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Føj -\frac{49}{9} til \frac{49}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Subtraher \frac{7}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=-\frac{7}{3}$$