Løs 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0,166666667+0,986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,986013297i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 3 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

Adder 9 til -324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af -315.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} når ± er plus. Adder -3 til 3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

Divider -3+3i\sqrt{35} med 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{35} fra -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

Divider -3-3i\sqrt{35} med 18.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+3x=-9$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Divider -9 med 9.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Adder -1 til \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$