Løs 9x^2+2x-1=0

$$9 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9}\approx 0,240253073$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}\approx -0,462475296$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+2x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 9}$$

Adder 4 til 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{18}$$

Divider -2+2\sqrt{10} med 18.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{10} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{18}$$

Divider -2-2\sqrt{10} med 18.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+2x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$9x^{2}+2x=1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+2x}{9}=\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x=\frac{1}{9}$$

Divider \frac{2}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{9}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

Føj \frac{1}{9} til \frac{1}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{10}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{81}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{9}=\frac{\sqrt{10}}{9} x+\frac{1}{9}=-\frac{\sqrt{10}}{9}$$

Subtraher \frac{1}{9} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$