Løs 9x^2+12x-24=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 24 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1,097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2,430500874$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 12 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -24.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+864}}{2\times 9}$$

Adder 144 til 864.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1008}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 1008.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} når ± er plus. Adder -12 til 12\sqrt{7}.

$$x=\frac{12\sqrt{7}-12}{18}$$

Divider -12+12\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{7} fra -12.

$$x=\frac{-12\sqrt{7}-12}{18}$$

Divider -12-12\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+12x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+12x=-\left(-24\right)$$

Subtraher -24 fra 0.

$$9x^{2}+12x=24$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{24}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{24}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{24}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{24}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj \frac{8}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$