Løs 9t^2-730t+81=0

$$9 t ^ { 2 } - 730 t + 81 = 0$$

Løs for t

$$t=\frac{1}{9}\approx 0,111111111$$

$$t=81$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9t^{2}+at+bt+81. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-730 ab=9\times 81=729$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 729.

$$-1,-729 -3,-243 -9,-81 -27,-27$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-729=-730 -3-243=-246 -9-81=-90 -27-27=-54$$

Løsningen er det par, der får summen -730.

$$a=-729 b=-1$$

Omskriv 9t^{2}-730t+81 som \left(9t^{2}-729t\right)+\left(-t+81\right).

$$\left(9t^{2}-729t\right)+\left(-t+81\right)$$

Ud9t i den første og -1 i den anden gruppe.

$$9t\left(t-81\right)-\left(t-81\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet t-81 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-81\right)\left(9t-1\right)$$

Løs t-81=0 og 9t-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=81 t=\frac{1}{9}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9t^{2}-730t+81=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -730 med b og 81 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±\sqrt{\left(-730\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Kvadrér -730.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±\sqrt{532900-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±\sqrt{532900-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 81.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±\sqrt{532900-2916}}{2\times 9}$$

Adder 532900 til -2916.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±\sqrt{529984}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 529984.

$$t=\frac{-\left(-730\right)±728}{2\times 9}$$

Det modsatte af -730 er 730.

$$t=\frac{730±728}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$t=\frac{730±728}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{730±728}{18} når ± er plus. Adder 730 til 728.

$$t=\frac{1458}{18}$$

Divider 1458 med 18.

$$t=81$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{730±728}{18} når ± er minus. Subtraher 728 fra 730.

$$t=\frac{2}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$t=\frac{1}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=81 t=\frac{1}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9t^{2}-730t+81=0$$

Subtraher 81 fra begge sider af ligningen.

$$9t^{2}-730t+81-81=-81$$

Hvis 81 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9t^{2}-730t=-81$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9t^{2}-730t}{9}=-\frac{81}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$t^{2}-\frac{730}{9}t=-\frac{81}{9}$$

Divider -81 med 9.

$$t^{2}-\frac{730}{9}t=-9$$

Divider -\frac{730}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{365}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{365}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{730}{9}t+\left(-\frac{365}{9}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{365}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{365}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{730}{9}t+\frac{133225}{81}=-9+\frac{133225}{81}$$

Adder -9 til \frac{133225}{81}.

$$t^{2}-\frac{730}{9}t+\frac{133225}{81}=\frac{132496}{81}$$

Faktor t^{2}-\frac{730}{9}t+\frac{133225}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{365}{9}\right)^{2}=\frac{132496}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{365}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{132496}{81}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{365}{9}=\frac{364}{9} t-\frac{365}{9}=-\frac{364}{9}$$

Adder \frac{365}{9} på begge sider af ligningen.

$$t=81 t=\frac{1}{9}$$