Løs 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Løs for t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9t^{2}+at+bt+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 9.

$$1,9 3,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+9=10 3+3=6$$

Løsningen er det par, der får summen 6.

$$a=3 b=3$$

Omskriv 9t^{2}+6t+1 som \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Udfaktoriser 3t i 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Udfaktoriser fællesleddet 3t+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 6 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrér 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Adder 36 til -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Føj -\frac{1}{9} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Faktor t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$t=-\frac{1}{3}$$