Løs 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -33 med b og -1456 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -33.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Adder 1089 til 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -33 er 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} når ± er plus. Adder 33 til 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Divider 33+3\sqrt{5945} med 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{5945} fra 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Divider 33-3\sqrt{5945} med 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Adder 1456 på begge sider af ligningen.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Hvis -1456 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Subtraher -1456 fra 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-33}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Divider -\frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Føj \frac{1456}{9} til \frac{121}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Faktor n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Adder \frac{11}{6} på begge sider af ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$