Løs 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Løs for n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for at få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6n^{2}+an+bn+20. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Løsningen er det par, der får summen -23.

$$a=-15 b=-8$$

Omskriv 6n^{2}-23n+20 som \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Ud3n i den første og -4 i den anden gruppe.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2n-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Løs 2n-5=0 og 3n-4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for at få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -23 med b og 20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kvadrér -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Adder 529 til -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Det modsatte af -23 er 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{23±7}{12} når ± er plus. Adder 23 til 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{23±7}{12} når ± er minus. Subtraher 7 fra 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for at få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Subtraher 20 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divider -\frac{23}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{23}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{23}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{23}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Føj -\frac{10}{3} til \frac{529}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Adder \frac{23}{12} på begge sider af ligningen.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$