Løs 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -10 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrér -10.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Adder 100 til -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} når ± er plus. Adder 10 til 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Divider 10+2i\sqrt{11} med 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{11} fra 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Divider 10-2i\sqrt{11} med 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Divider -\frac{10}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Føj -\frac{4}{9} til \frac{25}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Faktor a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Adder \frac{5}{9} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$