Løs 9(x-2)^2-121=0

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 121 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \approx 5,666666667$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Subtraher 121 fra 36 for at få -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9x^{2}+ax+bx-85. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-36 ab=9\left(-85\right)=-765$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -765.

$$1,-765 3,-255 5,-153 9,-85 15,-51 17,-45$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-765=-764 3-255=-252 5-153=-148 9-85=-76 15-51=-36 17-45=-28$$

Løsningen er det par, der får summen -36.

$$a=-51 b=15$$

Omskriv 9x^{2}-36x-85 som \left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right).

$$\left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right)$$

Ud3x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$3x\left(3x-17\right)+5\left(3x-17\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-17 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-17\right)\left(3x+5\right)$$

Løs 3x-17=0 og 3x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Subtraher 121 fra 36 for at få -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -36 med b og -85 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-36\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -85.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296+3060}}{2\times 9}$$

Adder 1296 til 3060.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{4356}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 4356.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±66}{2\times 9}$$

Det modsatte af -36 er 36.

$$x=\frac{36±66}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{36±66}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{36±66}{18} når ± er plus. Adder 36 til 66.

$$x=\frac{102}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{102}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{17}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{36±66}{18} når ± er minus. Subtraher 66 fra 36.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Subtraher 121 fra 36 for at få -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Tilføj 85 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$9x^{2}-36x=85$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-36x}{9}=\frac{85}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{36}{9}\right)x=\frac{85}{9}$$

Divider -36 med 9.

$$x^{2}-4x=\frac{85}{9}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{85}{9}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=\frac{85}{9}+4$$

Adder \frac{85}{9} til 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Forenkling.

$$x-2=\frac{11}{3} x-2=-\frac{11}{3}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$