Løs 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Løs for x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 9x^{2}+ax+bx+25. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Løsningen er det par, der får summen -30.

$$a=-15 b=-15$$

Omskriv 9x^{2}-30x+25 som \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Udfaktoriser 3x i den første og -5 i den anden gruppe.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -30 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kvadrér -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Adder 900 til -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Det modsatte af -30 er 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divider -\frac{10}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Føj -\frac{25}{9} til \frac{25}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Adder \frac{5}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{5}{3}$$