Løs 9x^2-14x^+5=0

$$9 { x }^{ 2 } -14 { x }^{ } +5 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{5}{9}\approx 0,555555556$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Beregn x til potensen af 1, og få x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-14 ab=9\times 5=45$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Løsningen er det par, der får summen -14.

$$a=-9 b=-5$$

Omskriv 9x^{2}-14x+5 som \left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Ud9x i den første og -5 i den anden gruppe.

$$9x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(9x-5\right)$$

Løs x-1=0 og 9x-5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn x til potensen af 1, og få x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -14 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\times 5}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 9}$$

Adder 196 til -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 9}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{14±4}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±4}{18} når ± er plus. Adder 14 til 4.

$$x=\frac{18}{18}$$

Divider 18 med 18.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±4}{18} når ± er minus. Subtraher 4 fra 14.

$$x=\frac{10}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Beregn x til potensen af 1, og få x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$9x^{2}-14x=-5$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=-\frac{5}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=-\frac{5}{9}$$

Divider -\frac{14}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{5}{9}+\frac{49}{81}$$

Føj -\frac{5}{9} til \frac{49}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{4}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{4}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{81}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{2}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{2}{9}$$

Adder \frac{7}{9} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$