Løs 9:6x^2-x=15

$$9 : 6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{91} + 1}{3} \approx 3,513130671$$

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}\approx -2,846464005$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=15-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{3}{2} med a, -1 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{2}\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-6\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicer -6 gange -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+90}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Adder 1 til 90.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} når ± er plus. Adder 1 til \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} når ± er minus. Subtraher \sqrt{91} fra 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{3}{2}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{\frac{3}{2}x^{2}-x}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Division med \frac{3}{2} annullerer multiplikationen med \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Divider -1 med \frac{3}{2} ved at multiplicere -1 med den reciprokke værdi af \frac{3}{2}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Divider 15 med \frac{3}{2} ved at multiplicere 15 med den reciprokke værdi af \frac{3}{2}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=10$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=10+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=10+\frac{1}{9}$$

Adder 10 til \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{91}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{91}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{91}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{91}}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$