Løs 8x-x(x+3)=2

$$8x-x(x+3)=2$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 5}{2} \approx 4,561552813$$

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx 0,438447187$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+3.

$$8x-\left(x^{2}+3x\right)=2$$

For at finde det modsatte af x^{2}+3x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$8x-x^{2}-3x=2$$

Kombiner 8x og -3x for at få 5x.

$$5x-x^{2}=2$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$5x-x^{2}-2=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+5x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 5 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 25 til -8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{-2}$$

Divider -5+\sqrt{17} med -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{17}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{17} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-5}{-2}$$

Divider -5-\sqrt{17} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{17}+5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5-\sqrt{17}}{2} x=\frac{\sqrt{17}+5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+3.

$$8x-\left(x^{2}+3x\right)=2$$

For at finde det modsatte af x^{2}+3x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$8x-x^{2}-3x=2$$

Kombiner 8x og -3x for at få 5x.

$$5x-x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+5x=2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Divider 5 med -1.

$$x^{2}-5x=\frac{2}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-5x=-2$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-2+\frac{25}{4}$$

Adder -2 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$$