Løs 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0,033707865+0,669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0,033707865-0,669553569i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 89 med a, -6 med b og 40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Multiplicer -4 gange 89.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

Multiplicer -356 gange 40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

Adder 36 til -14240.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

Tag kvadratroden af -14204.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Multiplicer 2 gange 89.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} når ± er plus. Adder 6 til 2i\sqrt{3551}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

Divider 6+2i\sqrt{3551} med 178.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3551} fra 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

Divider 6-2i\sqrt{3551} med 178.

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Subtraher 40 fra begge sider af ligningen.

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

Hvis 40 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$89x^{2}-6x=-40$$

Divider begge sider med 89.

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

Division med 89 annullerer multiplikationen med 89.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

Divider -\frac{6}{89}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{89}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{89} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{89} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

Føj -\frac{40}{89} til \frac{9}{7921} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

Faktor x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

Adder \frac{3}{89} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$