Løs 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktoriser

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Løsningsvejledning

Faktoriser udtrykket ved gruppering. Først skal udtrykket omskrives som 81x^{2}+ax+bx+100. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Løsningen er det par, der får summen 180.

$$a=90 b=90$$

Omskriv 81x^{2}+180x+100 som \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Udfaktoriser 9x i den første og 10 i den anden gruppe.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 9x+10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Vejledning i brug af kvadratet af binomial

Denne trinomial har form som en trinomial firkant, der måske er multipliceret med en fælles faktor. Trinomiale kvadrater kan indregnes ved at finde kvadratrødderne på de foranstillede og efterstillede udtryk.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Find den største fællesfaktor for koefficienterne.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Find kvadratroden af det første led, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Find kvadratroden af det sidste led, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Det trinomiale kvadrat er kvadratet af den binomiale værdi, der er summen eller differencen mellem kvadratrødderne af de foranstillede og efterstillede udtryk, hvor tegnet bestemmes af tegnet i det midterste udtryk for det trinomiale kvadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kvadrér 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplicer -4 gange 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplicer -324 gange 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Adder 32400 til -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplicer 2 gange 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktoriser det oprindelige udtryk ved hjælp af ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstat -\frac{10}{9} med x_{1} og -\frac{10}{9} med x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Sørg for at forenkle alle udtryk af formen p-\left(-q\right) til p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Føj \frac{10}{9} til x ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Føj \frac{10}{9} til x ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplicer \frac{9x+10}{9} gange \frac{9x+10}{9} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplicer 9 gange 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Ulign den største fælles faktor 81 i 81 og 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Evaluer

$$\left(9x+10\right)^{2}$$