Løs 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -8 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Adder 64 til 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} når ± er plus. Adder 8 til 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Divider 8+4\sqrt{6} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{6} fra 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Divider 8-4\sqrt{6} med 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Divider -8 med 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{8} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$