Løs 8x^2-7x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 7 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}\approx 0,695194102$$

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}\approx 0,179805898$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}-7x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -7 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32}}{2\times 8}$$

Adder 49 til -32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{17}}{16} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{17}}{16} når ± er minus. Subtraher \sqrt{17} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}-7x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$8x^{2}-7x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}-7x=-1$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Divider -\frac{7}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{16}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{49}{256}$$

Føj -\frac{1}{8} til \frac{49}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=\frac{17}{256}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=\frac{17}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{256}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{17}}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{17}}{16}$$

Adder \frac{7}{16} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$