Løs 8x^2+x-3=0

$$8 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}\approx 0,553053613$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}\approx -0,678053613$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 1 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+96}}{2\times 8}$$

Adder 1 til 96.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16} når ± er minus. Subtraher \sqrt{97} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$8x^{2}+x=3$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{3}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{3}{8}$$

Divider \frac{1}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{3}{8}+\frac{1}{256}$$

Føj \frac{3}{8} til \frac{1}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{97}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

Subtraher \frac{1}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$