Løs 8x^2+12x+1=0

$$8 x ^ { 2 } + 12 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4}\approx -0,088562172$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}\approx -1,411437828$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+12x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 12 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 8}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-32}}{2\times 8}$$

Adder 144 til -32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{112}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 112.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16} når ± er plus. Adder -12 til 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}-12}{16}$$

Divider -12+4\sqrt{7} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{7}}{16} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{7} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{7}-12}{16}$$

Divider -12-4\sqrt{7} med 16.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+12x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+12x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+12x=-1$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+12x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{12}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{8}$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{8}+\frac{9}{16}$$

Føj -\frac{1}{8} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{7}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{7}-3}{4}$$