Løs 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 8x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-4 b=14$$

Omskriv 8x^{2}+10x-7 som \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Udfaktoriser 4x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Løs 2x-1=0 og 4x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 10 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Adder 100 til 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±18}{16} når ± er plus. Adder -10 til 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±18}{16} når ± er minus. Subtraher 18 fra -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-28}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Divider \frac{5}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Føj \frac{7}{8} til \frac{25}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Subtraher \frac{5}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$