Løs 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3,791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,791287847$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -24 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

Adder 576 til 768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 1344.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Det modsatte af -24 er 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} når ± er plus. Adder 24 til 8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

Divider 24+8\sqrt{21} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{21} fra 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

Divider 24-8\sqrt{21} med 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

Subtraher -24 fra 0.

$$8x^{2}-24x=24$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

Divider -24 med 8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

Divider 24 med 8.

$$x^{2}-3x=3$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

Adder 3 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$