Løs 8x^2+x-75=0

$$8 { x }^{ 2 } +x-75=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{25}{8} = -3\frac{1}{8} = -3,125$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 8x^{2}+ax+bx-75. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=8\left(-75\right)=-600$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-24 b=25$$

Omskriv 8x^{2}+x-75 som \left(8x^{2}-24x\right)+\left(25x-75\right).

$$\left(8x^{2}-24x\right)+\left(25x-75\right)$$

Ud8x i den første og 25 i den anden gruppe.

$$8x\left(x-3\right)+25\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(8x+25\right)$$

Løs x-3=0 og 8x+25=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{25}{8}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+x-75=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 1 med b og -75 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-75\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-75\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-75\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -75.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+2400}}{2\times 8}$$

Adder 1 til 2400.

$$x=\frac{-1±\sqrt{2401}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 2401.

$$x=\frac{-1±49}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-1±49}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±49}{16} når ± er plus. Adder -1 til 49.

$$x=\frac{48}{16}$$

Divider 48 med 16.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±49}{16} når ± er minus. Subtraher 49 fra -1.

$$x=-\frac{50}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-50}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{25}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{25}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+x-75=0$$

Adder 75 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Hvis -75 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+x=-\left(-75\right)$$

Subtraher -75 fra 0.

$$8x^{2}+x=75$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{75}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{75}{8}$$

Divider \frac{1}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{75}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{75}{8}+\frac{1}{256}$$

Føj \frac{75}{8} til \frac{1}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{2401}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{2401}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{256}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{49}{16}$$

Subtraher \frac{1}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{25}{8}$$