Løs 8x^2+2x-3=0

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 8x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=-4 b=6$$

Omskriv 8x^{2}+2x-3 som \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Ud4x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Løs 2x-1=0 og 4x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 2 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Adder 4 til 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±10}{16} når ± er plus. Adder -2 til 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±10}{16} når ± er minus. Subtraher 10 fra -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Divider \frac{1}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Føj \frac{3}{8} til \frac{1}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Subtraher \frac{1}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$