Løs 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0,9+19,979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0,9-19,979739738i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kombiner 7x og -\frac{5}{2}x for at få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Subtraher 1000 fra begge sider.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{5}{2} med a, \frac{9}{2} med b og -1000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplicer 10 gange -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Adder \frac{81}{4} til -10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Tag kvadratroden af -\frac{39919}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} når ± er plus. Adder -\frac{9}{2} til \frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

Divider \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} med -5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} når ± er minus. Subtraher \frac{i\sqrt{39919}}{2} fra -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

Divider \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} med -5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kombiner 7x og -\frac{5}{2}x for at få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Divider begge sider af ligningen med -\frac{5}{2}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Division med -\frac{5}{2} annullerer multiplikationen med -\frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Divider \frac{9}{2} med -\frac{5}{2} ved at multiplicere \frac{9}{2} med den reciprokke værdi af -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Divider 1000 med -\frac{5}{2} ved at multiplicere 1000 med den reciprokke værdi af -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

Divider -\frac{9}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

Adder -400 til \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

Adder \frac{9}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$