Løs 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 15x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-3 b=10$$

Omskriv 15x^{2}+7x-2 som \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Ud3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Løs 5x-1=0 og 3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 75 med a, 35 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kvadrér 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplicer -4 gange 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplicer -300 gange -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Adder 1225 til 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Tag kvadratroden af 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplicer 2 gange 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-35±65}{150} når ± er plus. Adder -35 til 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{150} til de laveste led ved at udtrække og annullere 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-35±65}{150} når ± er minus. Subtraher 65 fra -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Reducer fraktionen \frac{-100}{150} til de laveste led ved at udtrække og annullere 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Divider begge sider med 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Division med 75 annullerer multiplikationen med 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Reducer fraktionen \frac{35}{75} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{75} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Divider \frac{7}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{30}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{30} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{30} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Føj \frac{2}{15} til \frac{49}{900} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Subtraher \frac{7}{30} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$