Løs 7x^2-4x-11=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1,571428571$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-11. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -77.

$$1,-77 7,-11$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-11 b=7$$

Omskriv 7x^{2}-4x-11 som \left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right).

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

Udfaktoriser x i 7x^{2}-11x.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

Udfaktoriser fællesleddet 7x-11 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

Løs 7x-11=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -4 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

Adder 16 til 308.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±18}{14} når ± er plus. Adder 4 til 18.

$$x=\frac{22}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{22}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{11}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±18}{14} når ± er minus. Subtraher 18 fra 4.

$$x=-\frac{14}{14}$$

Divider -14 med 14.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

Subtraher -11 fra 0.

$$7x^{2}-4x=11$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

Divider -\frac{4}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

Føj \frac{11}{7} til \frac{4}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

Adder \frac{2}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$