Løs 7x^2-2x-3=0

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0,812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0,527202251$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -2 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

Adder 4 til 84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 88.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

Divider 2+2\sqrt{22} med 14.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{22} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

Divider 2-2\sqrt{22} med 14.

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$7x^{2}-2x=3$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

Divider -\frac{2}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

Føj \frac{3}{7} til \frac{1}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

Adder \frac{1}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$