Løs 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -18.

$$a=-21 b=3$$

Omskriv 7x^{2}-18x-9 som \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Ud7x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Løs x-3=0 og 7x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -18 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Adder 324 til 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Det modsatte af -18 er 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±24}{14} når ± er plus. Adder 18 til 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Divider 42 med 14.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{18±24}{14} når ± er minus. Subtraher 24 fra 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Divider -\frac{18}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Føj \frac{9}{7} til \frac{81}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Adder \frac{9}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$