Løs 7x^2-14x+1/4=0

$$7 x ^ { 2 } - 14 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 1,981980506$$

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 0,018019494$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -14 med b og \frac{1}{4} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-28\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-7}}{2\times 7}$$

Adder 196 til -7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{189}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 189.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14} når ± er plus. Adder 14 til 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+14}{14}$$

Divider 14+3\sqrt{21} med 14.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{21} fra 14.

$$x=\frac{14-3\sqrt{21}}{14}$$

Divider 14-3\sqrt{21} med 14.

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis \frac{1}{4} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-14x=-\frac{1}{4}$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-14x}{7}=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{7}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Divider -14 med 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Divider -\frac{1}{4} med 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{28}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{28}+1$$

Adder -\frac{1}{28} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{27}{28}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{27}{28}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{28}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{3\sqrt{21}}{14} x-1=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$