Løs 7x^2-10x-3=5

$$7 x ^ { 2 } - 10 x - 3 = 5$$

Løs for x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0,571428571$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 5 fra begge sider.

$$7x^{2}-10x-3-5=0$$

Subtraher 5 fra -3 for at få -8.

$$7x^{2}-10x-8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-10 ab=7\left(-8\right)=-56$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -10.

$$a=-14 b=4$$

Omskriv 7x^{2}-10x-8 som \left(7x^{2}-14x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(7x^{2}-14x\right)+\left(4x-8\right)$$

Ud7x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$7x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(7x+4\right)$$

Løs x-2=0 og 7x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{4}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-10x-3=5$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-10x-3-5=5-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-10x-3-5=0$$

Subtraher 5 fra -3.

$$7x^{2}-10x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -10 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 7\left(-8\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 7\left(-8\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-28\left(-8\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+224}}{2\times 7}$$

Adder 100 til 224.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±18}{2\times 7}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±18}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{10±18}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±18}{14} når ± er plus. Adder 10 til 18.

$$x=\frac{28}{14}$$

Divider 28 med 14.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±18}{14} når ± er minus. Subtraher 18 fra 10.

$$x=-\frac{8}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{-8}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{4}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{4}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-10x-3=5$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-10x-3-\left(-3\right)=5-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-10x=5-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 5.

$$7x^{2}-10x=8$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-10x}{7}=\frac{8}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=\frac{8}{7}$$

Divider -\frac{10}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{8}{7}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{8}{7}+\frac{25}{49}$$

Føj \frac{8}{7} til \frac{25}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{81}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{5}{7}=-\frac{9}{7}$$

Adder \frac{5}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{4}{7}$$