Løs 7x^2+6x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{2}-3}{7}\approx -0,22654092$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-3}{7}\approx -0,630601937$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+6x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 6 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-28}}{2\times 7}$$

Adder 36 til -28.

$$x=\frac{-6±\sqrt{8}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 8.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{14} når ± er plus. Adder -6 til 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{14}$$

Divider -6+2\sqrt{2} med 14.

$$x=\frac{\sqrt{2}-3}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{14} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{2} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{14}$$

Divider -6-2\sqrt{2} med 14.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-3}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{2}-3}{7} x=\frac{-\sqrt{2}-3}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+6x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+6x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+6x=-1$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+6x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{6}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Divider \frac{6}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{7}x+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{9}{49}$$

Føj -\frac{1}{7} til \frac{9}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{2}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{2}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{7}=\frac{\sqrt{2}}{7} x+\frac{3}{7}=-\frac{\sqrt{2}}{7}$$

Subtraher \frac{3}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2}-3}{7} x=\frac{-\sqrt{2}-3}{7}$$