Løs 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 5 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Adder 25 til -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} når ± er plus. Adder -5 til i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{115} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Divider \frac{5}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{14}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Føj -\frac{5}{7} til \frac{25}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Subtraher \frac{5}{14} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$