Løs 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Adder 16 til -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} når ± er plus. Adder -4 til 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Divider -4+2i\sqrt{3} med 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Divider -4-2i\sqrt{3} med 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Divider \frac{4}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Føj -\frac{1}{7} til \frac{4}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Subtraher \frac{2}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$