Løs 7x^2+2407x-61800=0

$$7 x ^ { 2 } + 2407 x - 61800 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{2575}{7} = -367\frac{6}{7} \approx -367,857142857$$

$$x=24$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-61800. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2407 ab=7\left(-61800\right)=-432600$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -432600.

$$-1,432600 -2,216300 -3,144200 -4,108150 -5,86520 -6,72100 -7,61800 -8,54075 -10,43260 -12,36050 -14,30900 -15,28840 -20,21630 -21,20600 -24,18025 -25,17304 -28,15450 -30,14420 -35,12360 -40,10815 -42,10300 -50,8652 -56,7725 -60,7210 -70,6180 -75,5768 -84,5150 -100,4326 -103,4200 -105,4120 -120,3605 -140,3090 -150,2884 -168,2575 -175,2472 -200,2163 -206,2100 -210,2060 -280,1545 -300,1442 -309,1400 -350,1236 -412,1050 -420,1030 -515,840 -525,824 -600,721 -618,700$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+432600=432599 -2+216300=216298 -3+144200=144197 -4+108150=108146 -5+86520=86515 -6+72100=72094 -7+61800=61793 -8+54075=54067 -10+43260=43250 -12+36050=36038 -14+30900=30886 -15+28840=28825 -20+21630=21610 -21+20600=20579 -24+18025=18001 -25+17304=17279 -28+15450=15422 -30+14420=14390 -35+12360=12325 -40+10815=10775 -42+10300=10258 -50+8652=8602 -56+7725=7669 -60+7210=7150 -70+6180=6110 -75+5768=5693 -84+5150=5066 -100+4326=4226 -103+4200=4097 -105+4120=4015 -120+3605=3485 -140+3090=2950 -150+2884=2734 -168+2575=2407 -175+2472=2297 -200+2163=1963 -206+2100=1894 -210+2060=1850 -280+1545=1265 -300+1442=1142 -309+1400=1091 -350+1236=886 -412+1050=638 -420+1030=610 -515+840=325 -525+824=299 -600+721=121 -618+700=82$$

Løsningen er det par, der får summen 2407.

$$a=-168 b=2575$$

Omskriv 7x^{2}+2407x-61800 som \left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right).

$$\left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right)$$

Ud7x i den første og 2575 i den anden gruppe.

$$7x\left(x-24\right)+2575\left(x-24\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-24 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-24\right)\left(7x+2575\right)$$

Løs x-24=0 og 7x+2575=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 2407 med b og -61800 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{2407^{2}-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 2407.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-28\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -61800.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649+1730400}}{2\times 7}$$

Adder 5793649 til 1730400.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{7524049}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 7524049.

$$x=\frac{-2407±2743}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-2407±2743}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2407±2743}{14} når ± er plus. Adder -2407 til 2743.

$$x=\frac{336}{14}$$

Divider 336 med 14.

$$x=24$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2407±2743}{14} når ± er minus. Subtraher 2743 fra -2407.

$$x=-\frac{5150}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{-5150}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{2575}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Adder 61800 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+2407x-61800-\left(-61800\right)=-\left(-61800\right)$$

Hvis -61800 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+2407x=-\left(-61800\right)$$

Subtraher -61800 fra 0.

$$7x^{2}+2407x=61800$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+2407x}{7}=\frac{61800}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x=\frac{61800}{7}$$

Divider \frac{2407}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2407}{14}. Adder derefter kvadratet af \frac{2407}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{61800}{7}+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2407}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{61800}{7}+\frac{5793649}{196}$$

Føj \frac{61800}{7} til \frac{5793649}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{7524049}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{7524049}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7524049}{196}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2407}{14}=\frac{2743}{14} x+\frac{2407}{14}=-\frac{2743}{14}$$

Subtraher \frac{2407}{14} fra begge sider af ligningen.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$