Løs 7n^2+10n-130=0

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3,6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5,082538529$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 10 med b og -130 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -130.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

Adder 100 til 3640.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 3740.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14} når ± er plus. Adder -10 til 2\sqrt{935}.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

Divider -10+2\sqrt{935} med 14.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{935} fra -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

Divider -10-2\sqrt{935} med 14.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Adder 130 på begge sider af ligningen.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

Hvis -130 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

Subtraher -130 fra 0.

$$7n^{2}+10n=130$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

Divider \frac{10}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

Føj \frac{130}{7} til \frac{25}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

Forenkling.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

Subtraher \frac{5}{7} fra begge sider af ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$