Løs 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

Løs for k

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1,061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3,633096675$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 18 med b og -27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 18.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

Adder 324 til 756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 1080.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} når ± er plus. Adder -18 til 6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

Divider -18+6\sqrt{30} med 14.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{30} fra -18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

Divider -18-6\sqrt{30} med 14.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Adder 27 på begge sider af ligningen.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Hvis -27 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

Subtraher -27 fra 0.

$$7k^{2}+18k=27$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

Divider \frac{18}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

Føj \frac{27}{7} til \frac{81}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

Faktor k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

Subtraher \frac{9}{7} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$