Løs 7(x-3)-5(x^2-1)=x^2-5(x+2)

$$7 ( x - 3 ) - 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) = x ^ { 2 } - 5 ( x + 2 )$$

Løs for x

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Tilføj -21 og 5 for at få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for at få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for at få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Tilføj -16 og 10 for at få -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Divider begge sider med 6.

$$2x-1-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=1$$

Omskriv -x^{2}+2x-1 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser -x i -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Løs x-1=0 og -x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Tilføj -21 og 5 for at få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for at få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for at få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Tilføj -16 og 10 for at få -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-6x^{2}+12x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -6 med a, 12 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer -4 gange -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 24 gange -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-6\right)}$$

Adder 144 til -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-6\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 2 gange -6.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

Divider -12 med -12.

$$x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Tilføj -21 og 5 for at få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for at få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Tilføj 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for at få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Tilføj 16 på begge sider.

$$12x-6x^{2}=-10+16$$

Tilføj -10 og 16 for at få 6.

$$12x-6x^{2}=6$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-6x^{2}+12x=6$$

Divider begge sider med -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{6}{-6}$$

Division med -6 annullerer multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{6}{-6}$$

Divider 12 med -6.

$$x^{2}-2x=\frac{6}{-6}$$

Divider 6 med -6.

$$x^{2}-2x=-1$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Adder -1 til 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-1=0 x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=1$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=1$$