Løs 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -3 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Adder 9 til 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} når ± er plus. Adder 3 til \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} når ± er minus. Subtraher \sqrt{149} fra 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Divider -\frac{3}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{14}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Føj \frac{5}{7} til \frac{9}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Adder \frac{3}{14} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$