Løs 7x^2+8x-11=0

$$7 { x }^{ 2 } +8x-11=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7}\approx 0,806235823$$

$$x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}\approx -1,949092966$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+8x-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 8 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+308}}{2\times 7}$$

Adder 64 til 308.

$$x=\frac{-8±\sqrt{372}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 372.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14} når ± er plus. Adder -8 til 2\sqrt{93}.

$$x=\frac{2\sqrt{93}-8}{14}$$

Divider -8+2\sqrt{93} med 14.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{93} fra -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{93}-8}{14}$$

Divider -8-2\sqrt{93} med 14.

$$x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7} x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+8x-11=0$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Subtraher -11 fra 0.

$$7x^{2}+8x=11$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+8x}{7}=\frac{11}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x=\frac{11}{7}$$

Divider \frac{8}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{4}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{4}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{11}{7}+\frac{16}{49}$$

Føj \frac{11}{7} til \frac{16}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{93}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{93}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{93}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{4}{7}=\frac{\sqrt{93}}{7} x+\frac{4}{7}=-\frac{\sqrt{93}}{7}$$

Subtraher \frac{4}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7} x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$