Løs 7x^2+21x+14=56

$$7 { x }^{ 2 } +21x+14 = 56$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{33} - 3}{2} \approx 1,372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{2}\approx -4,372281323$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+21x+14=56$$

Subtraher 56 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+21x+14-56=56-56$$

Hvis 56 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+21x+14-56=0$$

Subtraher 56 fra 14.

$$7x^{2}+21x-42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 21 med b og -42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 7\left(-42\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 7\left(-42\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-28\left(-42\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -42.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+1176}}{2\times 7}$$

Adder 441 til 1176.

$$x=\frac{-21±\sqrt{1617}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 1617.

$$x=\frac{-21±7\sqrt{33}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-21±7\sqrt{33}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-21±7\sqrt{33}}{14} når ± er plus. Adder -21 til 7\sqrt{33}.

$$x=\frac{7\sqrt{33}-21}{14}$$

Divider -21+7\sqrt{33} med 14.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-21±7\sqrt{33}}{14} når ± er minus. Subtraher 7\sqrt{33} fra -21.

$$x=\frac{-7\sqrt{33}-21}{14}$$

Divider -21-7\sqrt{33} med 14.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+21x+14=56$$

Subtraher 14 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+21x+14-14=56-14$$

Hvis 14 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+21x=56-14$$

Subtraher 14 fra 56.

$$7x^{2}+21x=42$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+21x}{7}=\frac{42}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{21}{7}x=\frac{42}{7}$$

Divider 21 med 7.

$$x^{2}+3x=\frac{42}{7}$$

Divider 42 med 7.

$$x^{2}+3x=6$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=6+\frac{9}{4}$$

Adder 6 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{33}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-3}{2}$$