Løs 7x^2+12x+4=0

$$7 { x }^{ 2 } +12x+4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7}\approx -0,453081839$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}\approx -1,261203875$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+12x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 12 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-28\times 4}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-112}}{2\times 7}$$

Adder 144 til -112.

$$x=\frac{-12±\sqrt{32}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 32.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14} når ± er plus. Adder -12 til 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-12}{14}$$

Divider -12+4\sqrt{2} med 14.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{2} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-12}{14}$$

Divider -12-4\sqrt{2} med 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7} x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+12x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+12x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+12x=-4$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+12x}{7}=-\frac{4}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Divider \frac{12}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{6}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{6}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{6}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{4}{7}+\frac{36}{49}$$

Føj -\frac{4}{7} til \frac{36}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{8}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{8}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{2}}{7} x+\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{2}}{7}$$

Subtraher \frac{6}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7} x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$