Løs 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 64 med a, 24\sqrt{5} med b og 33 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Kvadrér 24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Multiplicer -4 gange 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Multiplicer -256 gange 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Adder 2880 til -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Tag kvadratroden af -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Multiplicer 2 gange 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} når ± er plus. Adder -24\sqrt{5} til 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Divider -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} med 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} når ± er minus. Subtraher 8i\sqrt{87} fra -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Divider -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} med 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Subtraher 33 fra begge sider af ligningen.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Hvis 33 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Divider begge sider med 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Division med 64 annullerer multiplikationen med 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Divider 24\sqrt{5} med 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Divider \frac{3\sqrt{5}}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3\sqrt{5}}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{3\sqrt{5}}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Kvadrér \frac{3\sqrt{5}}{16}.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Føj -\frac{33}{64} til \frac{45}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Subtraher \frac{3\sqrt{5}}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$