Løs 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 6x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombiner 6x og 6x for at få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 12x og -5x for at få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=10 b=-3$$

Omskriv -x^{2}+7x+30 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Ud-x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Løs x-10=0 og -x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Divider begge sider med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 6x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombiner 6x og 6x for at få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 12x og -5x for at få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 7 med b og 30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 49 til 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{-2} når ± er plus. Adder -7 til 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divider 6 med -2.

$$x=-3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{-2} når ± er minus. Subtraher 13 fra -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divider -20 med -2.

$$x=10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-3 x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Divider begge sider med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 6x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombiner 6x og 6x for at få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 12x og -5x for at få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Subtraher 30 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$7x-x^{2}=-30$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Divider 7 med -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Divider -30 med -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Adder 30 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=-3$$