Løs 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 15 fra begge sider.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-10 b=9$$

Omskriv 6x^{2}-x-15 som \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 3x-5=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-x=15$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -1 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Adder 1 til 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±19}{12} når ± er plus. Adder 1 til 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{20}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±19}{12} når ± er minus. Subtraher 19 fra 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-x=15$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{15}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{1}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Føj \frac{5}{2} til \frac{1}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Adder \frac{1}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$