Løs 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 6x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-9 b=2$$

Omskriv 6x^{2}-7x-3 som \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser 3x i 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Løs 2x-3=0 og 3x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -7 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Adder 49 til 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±11}{12} når ± er plus. Adder 7 til 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±11}{12} når ± er minus. Subtraher 11 fra 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{3}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{7}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{49}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Adder \frac{7}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$