Løs 6x^2-19x=36

$$6 x ^ { 2 } - 19 x = 36$$

Løs for x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 36 fra begge sider.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-19 ab=6\left(-36\right)=-216$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -19.

$$a=-27 b=8$$

Omskriv 6x^{2}-19x-36 som \left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right)$$

Ud3x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$3x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-9\right)\left(3x+4\right)$$

Løs 2x-9=0 og 3x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-19x=36$$

Subtraher 36 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-19x-36=36-36$$

Hvis 36 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -19 med b og -36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -36.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 6}$$

Adder 361 til 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 6}$$

Det modsatte af -19 er 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{19±35}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±35}{12} når ± er plus. Adder 19 til 35.

$$x=\frac{54}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{54}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±35}{12} når ± er minus. Subtraher 35 fra 19.

$$x=-\frac{16}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-16}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-19x=36$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-19x}{6}=\frac{36}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=\frac{36}{6}$$

Divider 36 med 6.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=6$$

Divider -\frac{19}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=6+\frac{361}{144}$$

Adder 6 til \frac{361}{144}.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{1225}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1225}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{12}=\frac{35}{12} x-\frac{19}{12}=-\frac{35}{12}$$

Adder \frac{19}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$