Løs 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 6 med a, -12 med b, og 3 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Løs ligningen x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

For at produktet bliver ≥0, skal x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge være ≤0 eller begge være ≥0. Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge er ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge er ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$