Løs 6p^2+9p+2=0

$$6 p ^ { 2 } + 9 p + 2 = 0$$

Løs for p

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}\approx -0,271286446$$

$$p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}\approx -1,228713554$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6p^{2}+9p+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 9 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Kvadrér 9.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-24\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 6}$$

Adder 81 til -48.

$$p=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{33}.

$$p=\frac{\sqrt{33}-9}{12}$$

Divider -9+\sqrt{33} med 12.

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-9±\sqrt{33}}{12} når ± er minus. Subtraher \sqrt{33} fra -9.

$$p=\frac{-\sqrt{33}-9}{12}$$

Divider -9-\sqrt{33} med 12.

$$p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4} p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6p^{2}+9p+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$6p^{2}+9p+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6p^{2}+9p=-2$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6p^{2}+9p}{6}=-\frac{2}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$p^{2}+\frac{9}{6}p=-\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{9}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$p^{2}+\frac{3}{2}p=-\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$p^{2}+\frac{3}{2}p=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=-\frac{1}{3}+\frac{9}{16}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{11}{48}$$

Faktor p^{2}+\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(p+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{48}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(p+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{48}}$$

Forenkling.

$$p+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{33}}{12} p+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{12}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$p=\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4} p=-\frac{\sqrt{33}}{12}-\frac{3}{4}$$